Дано: ∠1 = ∠4. Доказать: ∠2 = ∠3. (геометрия)

Смежные углы

⚠️

Задание не решено: на рисунке нет числовых данных (величины углов не подписаны), найти ∠DOE нельзя. Номер самого верхнего задания на фото не виден. Если пришлёте задание ближе и крупнее, с видимыми подписями, решу. В заданиях и величины равных углов на фото разобраны по дугам, а не по цифрам.

Дано: ∠1 = ∠4. Доказать: ∠2 = ∠3.

Решение

Углы и смежные (лежат на одной прямой), поэтому , откуда .
Углы и тоже смежные, поэтому , откуда .
Так как , то , то есть .

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна , поэтому углы, смежные с равными углами, равны.

Ответ

∠ = ∠, что и требовалось доказать.

№ Смежные углы, равнобедренный треугольник

Дано: ∠1 + ∠2 = 180°. Доказать: 1) ∠ABC = ∠ACB; 2) ∠DBC = ∠BCE.

Решение

Угол — это ∠BCE. Он смежный с ∠ACB (A, C, E на одной прямой), поэтому .
По условию . Значит, , то есть .
Угол DBC смежный с ∠ABC (A, B, D на одной прямой): .
Угол BCE смежный с ∠ACB: .
Так как , то .

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна ; углы, смежные с равными углами, равны.

Ответ

∠ABC = ∠ACB;
∠DBC = ∠BCE, что и требовалось доказать.

№ Найти ошибку в данных

Дано: ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4. Найти ошибку.

Решение

На первом рисунке ∠ и ∠ смежные, поэтому .
Если и , то должно быть .
На втором рисунке лучи FN и FC различны, поэтому углы и не смежные: между ними есть ещё угол NFC. Значит, .
Получили противоречие: .

💡 Почему так

Смежными являются углы с общей стороной, у которых две другие стороны образуют прямую. На втором рисунке такого нет.

Ответ

Ошибка в условии: ∠ и ∠ не смежные, их сумма меньше °, поэтому равенства ∠ = ∠ и ∠ = ∠ одновременно выполняться не могут.

№ Смежные углы

Найти: ∠BAC. (На рисунке: точки B, A, E лежат на одной прямой, ∠DAE = 37°.)

Решение

По дугам на рисунке ∠CAD = ∠DAE = °, поэтому .
Углы BAC и CAE смежные: .

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна .

Ответ

∠BAC = °

№

Смежные углы

Найти: ∠BOC. (На рисунке: точки A, O, D лежат на одной прямой, ∠AOB = 108°.)

Решение

Угол AOB равен , поэтому .
По дугам на рисунке ∠BOC = ∠COD, то есть OC делит угол BOD пополам:

💡 Почему так

Углы AOB и BOD смежные, их сумма равна .

Ответ

∠BOC = °

Помогло?