Дана клетчатая доска 103 × 101… (вероятность и статистика)

Индекс клетки на доске, степень простого числа

Дана клетчатая доска 103 × 101, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

Решение

Расстояние между центрами не больше у клеток, смещённых на с . Это сдвиги , , , , . В середине доски индекс равен .

Положение клетки по каждой координате бывает трёх видов:

крайняя линия (E): по прямой доступно клетки, по диагонали сторона;
вторая от края (S): по прямой клетки, по диагонали стороны;
остальные (I): по прямой клетки, по диагонали стороны.

Индекс равен , где — число клеток по прямой, — число диагональных сторон:

Индексы , , не являются степенями нечётного простого числа, поэтому такие клетки в М не входят. Остальные индексы , , — разные простые числа, так что в М могут быть клетки только с одним из них.

Индекс : угловые клетки, их .
Индекс : клетки ES и SE, их .
Индекс : клетки, у которых одна координата вторая от края, а другая — не крайняя и не вторая от края. Вдоль стороны таких клеток , вдоль стороны — . Всего .

Наибольшее множество — клетки с индексом .

💡 Почему так

Индекс клетки зависит только от её удалённости от краёв доски. Произведение индексов — степень одного простого числа, только если все индексы равны степеням этого числа. Здесь подходят индексы , и , и выбирают тот, у которого клеток больше всего.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Дана клетчатая доска 103 × 101, размер каждой клетки 1 × 1.…