Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, а из вершины B проведён перпендикуляр BH к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника BCH больше периметра треугольника ABC.
Дано: треугольник ABC, AL — биссектриса угла A, прямая
Доказать:
Доказательство.
-
Продолжим сторону CA за точку A и отложим на продолжении отрезок
. Углы BAC и BAD смежные. -
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Биссектриса угла BAC — это AL, значит, биссектриса угла BAD лежит на прямой, проходящей через A перпендикулярно AL. Это и есть прямая
. -
Треугольник ABD равнобедренный (
), и его биссектриса AH₀ (лежащая на ) является высотой и медианой, то есть пересекает BD под прямым углом в середине BD. Так как перпендикуляр из точки B к прямой единственный, его основание — это точка H. Значит, H — середина BD и . -
Для точек C, H, D выполняется неравенство треугольника:
. Точка H не лежит на прямой CD: прямая CD пересекает только в точке A, а (иначе B лежал бы на AL, а B — вершина треугольника, не лежащая на биссектрисе своего угла A... точнее, при было бы , то есть , что невозможно). -
Точка A лежит между C и D, поэтому
-
Периметр треугольника BCH:
Отражение вершины B относительно прямой
Доказано:
