Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, а из вершины B проведён перпендикуляр BH к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника BCH больше периметра треугольника ABC.
Пусть
-
Отразим точку
симметрично относительно прямой , получим точку . Так как , точка — середина , поэтому и . -
Биссектриса угла
перпендикулярна и делит угол пополам. Угол между лучом и прямой равен . Столько же составляет с луч, противоположный лучу . После симметрии относительно луч переходит в луч, противоположный лучу . Значит, лежит на продолжении за точку , и
-
Точка
не лежит на прямой : эта прямая пересекает только в точке , а , иначе и лежало бы на биссектрисе, что невозможно. Для треугольника неравенство треугольника даёт
-
Прибавим к обеим частям
:
Что и требовалось доказать.
Прямая
Доказано:
