Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к…

Условие в учебнике читается неточно: по смыслу нужно доказать, что периметр треугольника BCH больше периметра ABC? Разберём по тексту фото: «периметр треугольника BCH больше…» — дальше строка видна не полностью, поэтому докажем более надёжное утверждение, которое следует из построения: и связаны с и через точку .

Пусть — биссектриса угла , прямая в точке , .

. Продолжим до пересечения с прямой в точке .

. В треугольнике отрезок — биссектриса (так как — биссектриса угла , а , то — биссектриса внешнего угла) и одновременно высота. Значит, равнобедренный: , — середина , .

. Периметр : .
Периметр : .

. , значит (неравенство треугольника для ), где или в зависимости от положения .

Данных строки о сравнении на фото достаточно лишь частично, поэтому полное доказательство нельзя завершить без точного текста последних слов условия.