Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к…

Здесь — биссектриса угла , прямая проходит через перпендикулярно , . На чертеже дополнительная точка (на рисунке не подписана) — симметричная точке относительно .

1. Прямая перпендикулярна биссектрисе, значит, она делит пополам угол, смежный с углом . Поэтому, если , то угол между и лучом равен . Такой же угол с составляет продолжение луча за точку (вертикальный угол с углом между и ).

2. Отразим точку симметрично относительно прямой и получим точку . Так как , точка — середина , значит и .

3. Из равенства углов из п. точка лежит на продолжении за точку . Поэтому
   

4. Точка (иначе , то есть лежала бы на биссектрисе, что невозможно). Значит, не лежит на прямой , и — настоящий треугольник. По неравенству треугольника
   

    

5. Прибавим к обеим частям :
   

   
   то есть . Что и требовалось доказать.