а) Верно ли, что если сумма двух чисел кратна 7, то каждое… (математика)

№ Делимость суммы и произведения

а) Верно ли, что если сумма двух чисел кратна 7, то каждое из слагаемых кратно 7?
б) Верно ли, что если произведение двух чисел делится на 9, то хотя бы один из множителей делится на 9?

Решение

а) Приведём пример: . Сумма кратна , но ни , ни на не делятся. Значит, утверждение неверно.

б) Приведём пример: . Произведение делится на , но ни один множитель на не делится. Значит, утверждение неверно.

💡 Почему так

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера.

Ответ

а) нет, неверно ( + = );
б) нет, неверно ( · = )

№ Делимость суммы и разности на число

Определите, не вычисляя, делится ли выражение на 13. Объясните свой ответ.
а) $26 \cdot 45 + 26 \cdot 18$ ;
б) $65 \cdot 77 - 65 \cdot 25$ ;
в) $39 \cdot 52 + 39 \cdot 27$ ;
г) $14 \cdot 64 - 14 \cdot 39$ ;
д) $91 \cdot 33 - 91 \cdot 17$ ;
е) $52 \cdot 48 + 13 \cdot 16$ .

Решение

а) , значит, каждое слагаемое содержит множитель , кратный . Выражение делится на .

б) , каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) кратно . Делится.

в) , оба слагаемых кратны . Делится.

г) . Ни , ни не делятся на , а — простое число. Не делится.

д) , оба числа в разности кратны . Делится.

е) , значит кратно ; тоже кратно . Сумма делится.

💡 Почему так

Если каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) делится на число, то и сумма (разность) делится на него. В пункте г) ни один множитель и не кратен , а — простое число, поэтому произведение не делится на .

Ответ

а) делится;
б) делится;
в) делится;
г) не делится;
д) делится;
е) делится

№ Вставить число, чтобы выполнялась делимость

Вставьте вместо пропуска такое число, чтобы:
а) $32 + \_\_\_$ делилось на 11;
б) $18 \cdot \_\_\_$ делилось на 15;
в) $56 + \_\_\_$ не делилось на 7, но делилось на 4;
г) $45 - \_\_\_$ делилось на 6;
д) $27 \cdot \_\_\_$ делилось на 18.

Решение

а) , . Подходит число .

б) , . Подходит число .

в) делится и на , и на . Нужно число, кратное и не кратное , например : , , а на не делится.

г) , . Подходит число .

д) , . Подходит число .

💡 Почему так

В пункте в) кратно и , и , поэтому прибавляем число, кратное , но не кратное .

Ответ

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д)

№ НОК

Три теплохода отправляются из порта по разным маршрутам. Первый возвращается каждые 15 дней, второй — каждые 20 дней, третий — каждые 25 дней. Сегодня они все вышли из порта одновременно. Через сколько дней они снова вместе окажутся в порту?

Решение

Нужно найти наименьшее общее кратное чисел , и .

, , .

💡 Почему так

Теплоходы встретятся в порту через число дней, кратное каждому из периодов. Первая такая встреча — через наименьшее общее кратное.

Ответ

через дней

№ Подбор чисел по делимости

Подберите два различных числа, чтобы:
а) их сумма делилась на 10;
б) их произведение делилось на 12.

Решение

а) Возьмём и : , .

б) Возьмём и : , .

Ответ

а) например, и ;
б) например, и

Помогло?