- Почему размах не всегда является подходящей характеристикой для описания рассеивания значений в наборе данных?
- Дайте определение дисперсии.
- Даны два набора из трёх чисел: 1, 2, 3 и 2, 4, 6. Без вычислений определите, у какого из этих наборов дисперсия меньше.
- Как дисперсия средних месячных температур в некоторой местности характеризует климат этой местности?
- Может ли дисперсия числового набора быть отрицательной?
- Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений, то есть зависит только от двух крайних чисел. Одно очень большое или очень маленькое значение сильно увеличивает размах, хотя остальные числа могут лежать близко друг к другу.
- Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего арифметического набора.
- В наборе
, , числа находятся в два раза дальше друг от друга, чем в наборе , , , поэтому отклонения от среднего больше. Дисперсия меньше у набора , , . - Большая дисперсия говорит о больших различиях между температурами месяцев (жаркое лето, холодная зима, резко континентальный климат). Малая дисперсия говорит о ровной температуре в течение года (мягкий климат).
- Дисперсия — среднее квадратов, а квадрат любого числа неотрицателен. Значит, дисперсия не может быть отрицательной.
Дисперсия показывает, насколько значения в среднем удалены от среднего, и учитывает все числа набора, а не только крайние.
- Размах зависит только от крайних значений.
- Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
- Меньше у набора
, , . - Чем больше дисперсия, тем резче различия температур по месяцам.
- Нет, дисперсия всегда неотрицательна.
Для данных числовых наборов составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и найдите дисперсию:
а) −1, 0, 4;
б) 2, 3, 7;
в) −3, 1, 2, 4;
г) 2, 6, 7, 5;
д) −2, −1, 1, 2, 5;
е) −1, −3, −2, 3, 3.
а) Среднее:
| Число | − |
||
|---|---|---|---|
| Отклонение | − |
− |
|
| Квадрат |
б) Среднее:
| Число | |||
|---|---|---|---|
| Отклонение | − |
− |
|
| Квадрат |
в) Среднее:
| Число | − |
|||
|---|---|---|---|---|
| Отклонение | − |
|||
| Квадрат |
г) Среднее:
| Число | ||||
|---|---|---|---|---|
| Отклонение | − |
|||
| Квадрат |
д) Среднее:
| Число | − |
− |
|||
|---|---|---|---|---|---|
| Отклонение | − |
− |
|||
| Квадрат |
е) Среднее:
| Число | − |
− |
− |
||
|---|---|---|---|---|---|
| Отклонение | − |
− |
− |
||
| Квадрат |
Дисперсия = (сумма квадратов отклонений от среднего) : (количество чисел).
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора больше?
а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3;
б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.
а) Набор
Набор
Для
Для
Дисперсия больше у набора
б) Набор
Набор
Для
Для
Дисперсия больше у набора
а)
б)
Сумма двадцати чисел равна 96, а сумма их квадратов равна 478. Найдите дисперсию этого числового набора.
Среднее:
Дисперсия — среднее квадратов минус квадрат среднего:
Дисперсия равна разности среднего арифметического квадратов и квадрата среднего арифметического.
Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов.
а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8;
б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.
а)
На глаз: числа в обоих наборах расположены одинаково (шаг
Для
Для
Дисперсии равны.
б)
На глаз: в обоих наборах шаг
Для
Для
Дисперсии равны.
Если все числа набора сдвинуть на одно и то же число, дисперсия не изменится.
а)
б)
Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 56. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным?
Таблица 56
| Число поражённых мишеней | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Результат Анны | 2 | 15 | 6 | 5 | 1 | 1 |
| Результат Инны | 4 | 23 | 2 | 1 | 0 | 0 |
Анна. Сумма результатов:
Среднее:
Сумма квадратов:
Инна. Сумма результатов:
Среднее:
Сумма квадратов:
Вывод: в среднем Анна поражает больше мишеней (
Анна: среднее
В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.
Девушек и юношей поровну, поэтому средний рост класса:
Дисперсия всего класса равна среднему дисперсий внутри групп плюс дисперсия групповых средних.
Средняя из дисперсий:
Каждое групповое среднее отличается от
Общая дисперсия складывается из разброса внутри групп и разброса между средними групп.
Средний рост ≈
