1) √2x+5+√x-1=8; 2) √4x+8-√3x-2=2; 3)… (алгебра)

№

Иррациональные уравнения

⚠️

Вверху фото виден только обрезанный фрагмент предыдущего задания (пункт без номера и начала условия), его не решал. Внизу после пункта задания края нет, возможно, там есть ещё пункты. Чтобы их решить, переснимите нижнюю и верхнюю части крупнее.

$2 x + 5 + x - 1 = 8$ ;
$4 x + 8 - 3 x - 2 = 2$ ;
$x + 7 + 3 x - 2 - 9 = 0$ ;
$x + 8 - 5 x + 20 + 2 = 0$ .

Решение

) ОДЗ: . Переносим корень: . Возводим в квадрат:

Здесь

. Ещё раз возводим в квадрат:

Получаем

или

. Корень

не подходит.
Проверка:

) ОДЗ: . Переносим: . Возводим в квадрат:

Получаем

или

.
Проверка:

. Оба корня подходят.

) ОДЗ: . Переносим: . Возводим в квадрат:

Получаем

или

.
Проверка: при

получаем

. При

получаем

, этот корень посторонний.

) ОДЗ: . Переносим: . Возводим в квадрат:

Здесь

. Ещё раз возводим в квадрат:

Получаем

или

. Корень

не подходит.
Проверка:

💡 Почему так

Иррациональное уравнение решают уединением корня и возведением в квадрат. Возведение в квадрат может дать посторонние корни, поэтому нужна проверка или учёт ОДЗ.

Ответ

;
; ;
;

№

Уравнения со степенью /

$(x + 7)^{\frac{1}{2}} = (3 x + 19)^{\frac{1}{2}} - (x + 2)^{\frac{1}{2}}$ ;
$(5 x + 4)^{\frac{1}{2}} + (2 x - 1)^{\frac{1}{2}} = (3 x + 1)^{\frac{1}{2}}$ ;
$(3 x + 1)^{\frac{1}{2}} + (4 x - 3)^{\frac{1}{2}} = (5 x + 4)^{\frac{1}{2}}$ ;
$[5 (x - 1)]^{\frac{1}{2}} - (2 x - 3)^{\frac{1}{2}} = (3 x - 2)^{\frac{1}{2}}$ .

Решение

Степень означает квадратный корень.

) Уравнение: . ОДЗ: . Возводим в квадрат:

Получаем

или

. Второй корень не входит в ОДЗ.
Проверка:

) ОДЗ: . Возводим в квадрат:

При

правая часть отрицательна, а левая неотрицательна. Решений нет.

) ОДЗ: . Возводим в квадрат:

Здесь

Получаем

или

. Второй корень не входит в ОДЗ.
Проверка:

) ОДЗ: . Переписываем: . Возводим в квадрат:

Получаем

или

. Корень

не входит в ОДЗ.
Проверка:

💡 Почему так

Каждое слагаемое со степенью — арифметический корень, поэтому подкоренные выражения неотрицательны. Корни, не вошедшие в ОДЗ, отбрасываем.

Ответ

;
решений нет;
;

№

*Уравнения с кубическими корнями

$(8 x + 4)^{\frac{1}{3}} - (8 x - 4)^{\frac{1}{3}} = 2$ ;
$(5 + x)^{\frac{1}{3}} + (5 - x)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}}$ ;
$(76 + x)^{\frac{1}{3}} + (76 - x)^{\frac{1}{3}} = 8$ .

Решение

Используем формулы и .

) Пусть , . Тогда и . Подставляем в формулу:

Значит,

или

, то есть

или

.
Проверка: при

получаем

. При

получаем

) Пусть , . Тогда и . Подставляем в формулу:

Возводим в куб:

) Пусть , . Тогда и . Подставляем в формулу:

Возводим в куб:

Проверка:

💡 Почему так

Кубический корень определён при любом подкоренном выражении. Замена , и формула куба суммы (разности) превращают уравнение в простое уравнение для произведения .

Ответ

; ;
;

Помогло?

1) √2x+5+√x-1=8; 2) √4x+8-√3x-2=2; 3) √x+7+√3x-2-9=0; 4) √x+8-√5x+20+2=0.