а) Разность состоит только из элементов A (§). Поэтому пересечение с A не удаляет ни одного её элемента: .
б) Все элементы уже содержатся в A. Объединение с этим подмножеством не добавляет новых элементов: .
в) Из A удаляется его часть, находящаяся вне B. Остаётся часть A внутри B. По определению пересечения .
г) даёт элементы A вне B. Объединение с B добавляет весь круг B, включая общие с A элементы. Получаются все элементы хотя бы одного множества: .
д) По определению симметрической разности : не существует элемента, входящего ровно в одно из двух одинаковых множеств.
Затем , поскольку каждый элемент A входит только во второе множество. Поэтому .
е) По свойству разности, доказанному в №(а), .
По свойству двойного дополнения (§) . Поэтому получаем .
ж) По сочетательному свойству симметрической разности, доказанному в №(а), можно изменить расстановку скобок:
Так как , выражение равно . Симметрическая разность с пустым множеством сохраняет множество, поэтому результат . Все упрощения выполнены по определениям и доказанным свойствам.
