С помощью диаграмм Эйлера — Венна для трёх множеств докажите или опровергните равенство:
а) (A∖B)∖C=A∖(B∖C);
б) A∖(B∪C)=(A∖B)∪(A∖C);
в) A∖(B∪C)=(A∖B)∩(A∖C);
г) A∖(B∩C)=(A∖B)∩(A∖C);
д) A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C).
На каждой диаграмме символом «●» отмечена область, которую нужно закрасить; «–» означает, что область оставляем незакрашенной. Рамка изображает универсум.
В каждом пункте сравниваем левую и правую части на двух диаграммах. Пользуемся определениями разности, объединения и пересечения из §
а)
Слева сначала удаляем B из A, затем удаляем C. Остаётся только часть A вне B и C.
Справа из A удаляется только часть B вне C. Элементы A, лежащие в C, не удаляются. Поэтому сохраняются также области AC и ABC.
Контрпример:
б)
Слева остаются элементы A вне обоих кругов B и C.
Справа достаточно отсутствия элемента хотя бы в одном из B, C. Поэтому добавляются области AB без C и AC без B. Диаграммы различны.
Контрпример:
в)
Слева элемент находится внутри A и вне B и C.
Справа пересечение требует одновременно принадлежать A вне B и A вне C. Поэтому снова остаётся только часть A вне обоих кругов. Области совпадают, тождество доказано.
г)
Слева из A удаляем только элементы, принадлежащие одновременно B и C. Поэтому исключена область ABC, а области A, AB без C и AC без B сохраняются.
Справа нужно находиться вне B и вне C одновременно. Сохраняется только отдельная часть A.
Контрпример:
д)
Слева сохраняются элементы A, которые не принадлежат сразу обоим множествам B и C.
Справа объединение оставляет элементы A, отсутствующие в B или отсутствующие в C. Это все элементы A, кроме общей части трёх кругов. Области совпадают, тождество доказано.
а) Неверно.
б) Неверно.
в) Верно.
г) Неверно.
д) Верно.
