ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 787

№

Построение окружности, касающейся сторон угла и проходящей через точку

Точка $M$ принадлежит углу $A B C$ , но не принадлежит его сторонам. Постройте окружность, которая касается сторон угла и проходит через точку $M$ .

Решение

Построение.

Строим биссектрису угла . Центр любой окружности, касающейся сторон угла, лежит на биссектрисе (он равноудалён от сторон).
Берём на биссектрисе произвольную точку , опускаем перпендикуляр на сторону и строим окружность с центром и радиусом . Она касается обеих сторон угла.
Проводим луч ; он пересекает окружность в точке (возьмём любую из двух точек пересечения).
Через точку проводим прямую, параллельную ; она пересекает биссектрису в точке .
Строим окружность с центром и радиусом . Это искомая окружность.

Доказательство. Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом . Она переводит в , а прямые и , проходящие через центр, — в себя. Образ окружности — окружность , проходящая через . Образ точки — точка на луче (на биссектрисе), причём (прямая переходит в параллельную ей прямую через ), т. е. совпадает с построенной точкой. Окружность касается прямых и , поэтому и её образ касается этих же прямых (задача : образ окружности, касающейся прямой через центр гомотетии, касается этой прямой). Значит, окружность с центром касается сторон угла и проходит через .

Прямая пересекает в двух точках и , и каждая из них даёт своё решение. Поэтому задача имеет два решения.

Ответ

Задача имеет два решения: строим любую окружность, касающуюся сторон угла (центр на биссектрисе), находим точки , пересечения луча с ней и гомотетией с центром и коэффициентом (или ) получаем искомые окружности.

Помогло?

Номер 787 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 190