Нарисуйте произвольный треугольник. Постройте его вписанную и описанную окружности, не пользуясь теоретическим материалом параграфа 21. Теперь постройте эти же окружности, пользуясь следствиями 2 из теорем 21.1 и 21.2. Получилось ли это построение быстрее и точнее?
Без теории. Окружность подбирают «на глаз»: рисуют окружность и подбирают положение и размер так, чтобы она проходила через все три вершины (описанная) или касалась всех трёх сторон (вписанная). Построение получается неточным и долгим, так как требует многих проб и измерений.
С теорией.
-
Описанная окружность (окружность, проходящая через все вершины треугольника). По следствию теоремы
. её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Строим серединные перпендикуляры двух сторон (задание ДК ), их пересечение — точка . Радиус — отрезок . Строим окружность с центром радиуса : она проходит через , и . -
Вписанная окружность (окружность, касающаяся всех сторон). По следствию теоремы
. её центр — точка пересечения биссектрис треугольника. Строим две биссектрисы (задание ДК ), их пересечение — точка . Из опускаем перпендикуляр на сторону (задание ДК ); радиус равен . Строим окружность с центром радиуса . -
Проверяем: описанная окружность проходит через все три вершины, а вписанная касается всех трёх сторон (расстояния от
до сторон одинаковы).
Вывод: да, построение по теоремам быстрее и точнее: центры находятся однозначно как точки пересечения серединных перпендикуляров (для описанной) и биссектрис (для вписанной) двух сторон или углов.
Да: центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров сторон, центр вписанной — пересечение биссектрис; такое построение быстрее и точнее подбора «на глаз».
