ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 782

№

Центры касающихся окружностей на биссектрисе

Стороны угла $O$ касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке $A$ . Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой $OA$ .

Решение

Дано: две окружности касаются обеих сторон угла и друг друга в точке .

Доказать: их центры и лежат на прямой .

Пусть — центр первой окружности. Расстояние от до каждой стороны угла равно её радиусу: радиус к точке касания перпендикулярен касательной. Значит, равноудалена от сторон угла и лежит на его биссектрисе — геометрическом месте точек внутри угла, равноудалённых от сторон.
Тем же рассуждением центр второй окружности лежит на той же биссектрисе. Следовательно, прямая совпадает с прямой, содержащей биссектрису угла , и проходит через .
В точке у окружностей общая касательная. Радиусы и перпендикулярны ей. Через точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой, поэтому точки коллинеарны.
Так как прямая проходит и через , и через , это прямая . Оба центра лежат на ней.

Ответ

Доказано: лежат на одной прямой.

Помогло?

Номер 782