Дано: острый угол , отрезки и .
Построить: параллелограмм , в котором , , расстояние между прямыми и равно .
Анализ. Расстояние между параллельными прямыми и — это длина перпендикуляра, проведённого из любой точки одной прямой к другой (п. ). Значит, прямая — это прямая, параллельная и удалённая от неё на (задача ), а вершина — точка пересечения этой прямой со стороной угла .
Построение. ) Строим угол , равный данному углу ; его стороны обозначим и . ) На луче откладываем отрезок . ) Через точку проводим прямую, перпендикулярную к , и откладываем на ней по ту же сторону от прямой , где лежит луч , отрезок . ) Через точку проводим прямую , перпендикулярную к (она параллельна и удалена от на — задача ). ) Точку пересечения прямой с лучом обозначаем . ) Через точку проводим прямую, параллельную ; точку её пересечения с прямой обозначаем .
Доказательство. По построению (точки и лежат на прямой ) и , поэтому — параллелограмм. Его сторона , угол равен углу . Расстояние между прямыми и равно длине перпендикуляра .
Исследование. Угол острый, поэтому луч не параллелен прямой и уходит в ту полуплоскость относительно , где лежит , — точка существует и единственна. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение.
