Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Дано: два вектора
-
Пусть
и коллинеарны. По лемме о коллинеарных векторах существует число такое, что (при выборе ненулевого ; случай нулевого вектора рассматривается отдельно). По правилу вектор имеет координаты . Равные векторы имеют равные координаты, значит, и . Это и означает пропорциональность координат с одним коэффициентом . -
Обратное утверждение: если существует число
, для которого и , то векторы коллинеарны. Действительно, по правилу координаты равны . Векторы с одинаковыми координатами равны, поэтому . По определению умножения на число такие векторы коллинеарны. -
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору; для него следует использовать равенства с коэффициентом
, а не делить координаты, поскольку деление на нуль невозможно.
Доказано: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда координаты одного получаются умножением обеих координат другого на одно и то же число (с учётом нулевого вектора).
