Номер 5.19 ГДЗ Геометрия 11 класс, Мерзляк 2024, страница 49

Дано: правильная четырёхугольная пирамида , все рёбра равны . Найти: $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$.

1. Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат. По правилу параллелограмма для его сторон:

   $\overrightarrow{}$$\overrightarrow{}$$\overrightarrow{}$

   По распределительному свойству скалярного произведения (§):
   

   $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$

2. В треугольнике стороны , и равны , поэтому он равносторонний и . По определению скалярного произведения:
   

   $\overrightarrow{}\overrightarrow{}{}^{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}$

3. Треугольник также равносторонний, поскольку . Поэтому и аналогично
   

   $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}$

4. Складываем найденные значения:
   

   $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}{}^{}$
   
   Искомое произведение равно квадрату ребра пирамиды.