Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 18 см, а апофема — 9 см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.
Дано: правильная треугольная пирамида со стороной основания
-
Основание пирамиды — равносторонний треугольник. По §
основание конуса вписано в этот треугольник. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен , поэтому: -
Пусть
— центр основания, — середина его стороны, — вершина. Точка является точкой касания вписанной окружности со стороной. Апофема см одновременно является образующей вписанного конуса (§ ). -
Отрезок
— высота пирамиды и конуса, а лежит в основании. Следовательно, треугольник прямоугольный при . По теореме Пифагора: -
Длина положительна, поэтому
см. Это и есть высота конуса, поскольку она совпадает с высотой пирамиды (§ ).
