Треугольник A1B1C1 — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника ABC с гипотенузой AB. Постройте изображение квадрата DEFM, если D∈AB, M∈AB, E∈AC, F∈BC.
Дано:
Построить: изображение квадрата
Решение:
-
Пусть
, — середина . Медиана равнобедренного треугольника является высотой. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому . -
Обозначим сторону вписанного квадрата через
. Тогда , а расстояние от до равно . Высота треугольника равна . -
Треугольники
и подобны по двум углам, поскольку . Отношение их оснований равно отношению высот: Умножаем на
и получаем . Тогда , откуда . -
Следовательно,
. Из того же подобия . На изображении отмечаем и так, чтобы , . Эти отношения сохраняются по теореме . . -
Строим середину
гипотенузы. Через и проводим прямые, параллельные , до пересечения с в и . По теореме . они изображают перпендикуляры к гипотенузе. Соединяем . В исходной фигуре все углы прямые и все стороны равны , поэтому получено изображение квадрата.
