Точка M — середина ребра AB прямой призмы ABCA1B1C1. Точка X принадлежит прямой CM. Найдите наименьшее значение площади треугольника BXC1, если AC=BC=9 см, AB=10 см и CC1=12 см.
Решение
Вспомогательный плоский треугольник-проекция .
Дано: прямая призма, см, см, см; — середина , .
Найти: наименьшую площадь .
Берём постоянное основание . По теореме Пифагора в прямоугольной грани его длина см. Значит, надо минимизировать расстояние от до прямой .
В равнобедренном основании медиана является высотой, поэтому . Через проведём прямую . Призма прямая, следовательно, , а по свойству параллельных прямых (§) также . Значит, . Прямые и пересекаются в и лежат в плоскости . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (§) .
Спроектируем на эту плоскость: любая точка проектируется в , а — в точку над на высоте см. Прямая проектируется в .
Ортогональное проектирование не увеличивает длину отрезка (§), поэтому любое расстояние от до точки на не меньше расстояния от до .
Докажем, что нижняя граница достигается. Обозначим основание перпендикуляра из к через . Точка лежит внутри гипотенузы прямоугольного треугольника . На отрезке существует точка , проекция которой равна : проекция переводит концы , в , и сохраняет отношение деления отрезка (§).
Через проведём плоскость, параллельную , до пересечения с прямой в . Тогда и , поскольку проектирование между двумя параллельными плоскостями вдоль общего перпендикуляра сохраняет длины. Получаем . Для любой точки уже доказано , поэтому — ближайшая к этому точка прямой . Таким образом, найденное расстояние действительно достигается.
Треугольник прямоугольный, см, см; см. По равенству двух выражений площади его высота к гипотенузе см.
Следовательно, см².
Искомый минимум достигается и равен указанной площади.
Ответ
✓ dzmen.ru
см².
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
