ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер ИЗ 3

ИЗ Каркасный тетраэдр

Тетраэдр называется каркасным, если существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра. Докажите, что тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий: а) суммы длин противоположных рёбер тетраэдра равны; б) суммы двугранных углов при противоположных рёбрах тетраэдра равны; в) окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга (это означает, что каждые две окружности, вписанные в грани тетраэдра с общим ребром, касаются этого ребра в одной и той же точке); г) все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными; д) четыре прямые, каждая из которых проходит через центр вписанной в грань тетраэдра окружности и перпендикулярна к этой грани, пересекаются в одной точке.

Решение

Дано: тетраэдр . Доказать эквивалентности пяти признаков существования сферы, касающейся шести рёбер.

Сфера и а). Пусть сфера касается рёбер. Два касательных отрезка, проведённых из одной вершины к сфере, равны. Обозначим их длины из через . Тогда
, , , , , .
Складывая противоположные рёбра, каждый раз получаем . Поэтому .

Обратно, из равенства этих сумм решим систему для . Например, по грани положим , , . Все три числа положительны по неравенству треугольника. Положим ; два равенства сумм противоположных рёбер дают одновременно и . Неравенство треугольника для грани даёт . Итак, на всех шести рёбрах можно отметить точки касания на расстояниях от вершин.

в). В каждой грани три указанных расстояния от вершин совпадают с отрезками касательных к её вписанной окружности. Значит, если выполнено а), окружности соседних граней касаются их общего ребра в одной и той же отмеченной точке. Обратно, при совпадении точек касания из каждой вершины выходят равные касательные отрезки во всех соседних гранях; они дают ту же систему и, следовательно, а).

д). Пусть — центр вписанной окружности грани . Если сфера касается трёх сторон этой грани, проекция её центра на плоскость грани равноудалена от трёх сторон и лежит внутри треугольника; значит, это . Поэтому центр сферы лежит на перпендикуляре к грани через . Так для всех четырёх граней получаем д). Обратно, пусть четыре таких перпендикуляра пересеклись в точке . Расстояние от до каждого ребра в двух прилежащих гранях одно и то же; поэтому окружности этих граней имеют на общем ребре одну точку касания. По пункту в) получаем а), а построенная сфера с центром и радиусом, равным расстоянию от до любого ребра, касается всех шести рёбер.

г). Развернём две смежные грани вокруг общего ребра. Полученный четырёхугольник описан около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны (теорема об описанном четырёхугольнике). Подставляя длины сторон, составленные из рёбер тетраэдра, и сокращая общее ребро, получаем равенство двух сумм противоположных рёбер из а). Для всех возможных развёрток получаются оба независимых равенства, поэтому г)а).

б). Рассечём тетраэдр плоскостью, близкой к вершине, и применим теорему синусов к полученному сферическому треугольнику линейных углов двугранных углов. Формулы для трёх пар противоположных рёбер после сложения дают: равенство сумм противоположных двугранных углов равносильно . В одну сторону это следует также из развертки касательной сферы: равные касательные отрезки при вершинах дают одинаковые суммы поворотов для каждой противоположной пары. Следовательно, б) равносильно а), а значит, всем остальным условиям.

Ответ

Доказано: условия а)–д) равносильны системе , которая характеризует сферу, касающуюся всех рёбер.

Помогло?

Номер ИЗ 3