Номер ИЗ 2

Дано: тетраэдр с центром масс , площадями граней и объёмом . Доказать все эквивалентности.

Общий критерий. Если , , , то все четыре грани имеют одни и те же три длины сторон, поэтому равны по третьему признаку равенства треугольников. Обратно, из попарного равенства граней следуют три равенства противоположных рёбер. Обозначим их условием (*).

б). При () грани — равные треугольники. У каждой вершины сходятся три их разных угла, сумма которых равна по теореме о сумме углов треугольника. Обратно, обозначим углы при вершинах в каждой грани и запишем четыре равенства сумм плоских углов вместе с четырьмя равенствами сумм углов самих граней. Вычитание равенств для соседних вершин показывает, что углы, лежащие против противоположных рёбер, попарно равны. По теореме синусов в гранях с общей стороной отсюда получаются , , , то есть ().

в). Пусть начало векторов в , тогда . Векторы трёх бимедиан равны , , . Раскрывая произведение, получаем , , (при выборе направлений возможна перемена знака). Поэтому попарная перпендикулярность бимедиан равносильна (*).

г) и е). Для бимедианы между серединами и условие её перпендикулярности записывается , а условие перпендикулярности — . Аналогично для двух других бимедиан. Все они — общие перпендикуляры противоположных рёбер тогда и только тогда, когда . Последнее в точности означает, что равноудалён от всех вершин, то есть совпадает с центром описанной сферы. Раскрытие квадратов при показывает, что это же равносильно (*).

з). Центр масс противоположной грани для вершины есть . Длина медианы из равна . Четыре медианы равны тогда и только тогда, когда равны , то есть по пункту е) выполнено (*).

и) и к). По формуле объёма пирамиды . Объём один и тот же, поэтому четыре высоты равны тогда и только тогда, когда равны четыре площади граней. Это доказывает и)к). Для тетраэдра равенство четырёх площадей граней влечёт (*): применяем формулу Герона к граням с общими сторонами и сокращаем положительные множители; остаются , , . Обратное очевидно по равенству граней.

ж). Вписанный центр имеет барицентрические веса, пропорциональные площадям противоположных граней: это следует из разложения объёма на четыре пирамиды с общей высотой, равной радиусу вписанной сферы. Центр масс имеет четыре равных веса . Поэтому эти центры совпадают ровно тогда, когда , то есть при (*).

д). При () уже доказано, что центры обеих сфер совпадают с . Обратно, пусть их общий центр . Из равенства расстояний и расстояний до четырёх плоскостей граней, подставляя формулы расстояния от точки до плоскости в координатах с началом , получаем равенство четырёх площадей граней; по пункту к) оно даёт (). Тем самым любое условие списка характеризует один и тот же равногранный тетраэдр.