ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 853

№

Теорема Менелая и симметрия относительно середины

На сторонах $BC$ , $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ или их продолжениях отмечены соответственно точки $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ , лежащие на одной прямой. Докажите, что точки $A_2$ , $B_2$ и $C_2$ , симметричные соответственно точкам $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ относительно середин сторон $BC$ , $CA$ и $AB$ , также лежат на одной прямой.

Решение

Дано: коллинеарны; — их отражения относительно середин .

Доказать: коллинеарны.

Обозначим середину через . Из центральной симметрии относительно следуют равенства направленных отрезков и . Поэтому . Равенство справедливо и на продолжении стороны.
Точно так же отражение относительно середин и меняет местами соответствующие направленные части сторон:
По прямой теореме Менелая (п. ) для коллинеарных произведение трёх отношений справа равно . Для точек с индексом оно равно обратному числу: .
По обратной теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Это и требовалось доказать.

Ответ

Точки , и лежат на одной прямой.

Помогло?

Номер 853