ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 852

№

Внешние биссектрисы и теорема Менелая

Биссектрисы внешних углов $A$ , $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают продолжения противоположных сторон в точках $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ . Докажите, что точки $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Решение

Дано: , , на продолжениях сторон; , , — биссектрисы внешних углов.

Доказать: коллинеарны.

Теорема о биссектрисе внешнего угла (задача ) даёт по обычным длинам , , . В каждом равенстве точка делит соответствующую сторону внешним образом.
Поэтому каждое из трёх направленных отношений в формулировке теоремы Менелая отрицательно:
Перемножая и сокращая одинаковые стороны числителей и знаменателей, получаем
По обратной теореме Менелая (п. ) это равенство равносильно принадлежности точек одной прямой. Следовательно, требуемая прямая существует.

Ответ

Точки , и лежат на одной прямой.

Помогло?

Номер 852