Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.
Дано: диагональ
-
Пусть
описан около окружности. По свойству отрезков касательных из одной точки обозначим длины касательных из через . Тогда , , , . -
Для треугольника
отрезок от до точки касания его вписанной окружности со стороной равен . Здесь использовано равенство касательных из вершин треугольника и его полупериметр. -
Для треугольника
аналогичный отрезок равен . Значит, , а обе точки лежат на отрезке ; следовательно, . -
Обратно, пусть
. Обозначим длины касательных из к окружности треугольника через ; тогда , , , . Для треугольника длины касательных из равны соответственно , потому что общая точка касания на одна и та же. Значит, , . -
Складываем:
. По признаку описанного выпуклого четырёхугольника (п. ) равенство сумм противоположных сторон означает, что в него можно вписать окружность.
Вывод: совпадение точек касания на диагонали равносильно существованию вписанной окружности.
Окружность вписывается в четырёхугольник ровно при совпадении точек касания диагонали.
