Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Дано:
-
Проведём через
диаметр . По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, . Поэтому в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора . -
Покажем, что
. По теореме об угле между пересекающимися хордами из следует, что сумма дуг и равна (для другого порядка вершин берём соответствующие дополнительные дуги). Диаметр делит окружность на дуги по , поэтому дуга равна разности , то есть дуге . Равным дугам соответствуют равные хорды: . -
Подставляем в равенство шага
: . Если вместо взять и провести диаметр через , тем же рассуждением получаем .
Вывод: сумма квадратов каждой пары противоположных сторон равна квадрату диаметра.
