Номер 36

Дано: , , . Доказать: и скрещиваются.

1. Поскольку , через них проходит плоскость — это часть определения параллельных прямых в пространстве.

2. Предположим, что также лежит в . Тогда в плоскости прямая пересекает в , но не пересекает . По определению параллельных прямых получилось бы .

3. В то же время и . Через точку проходили бы две разные прямые и , параллельные . Это невозможно по теореме о единственности прямой, параллельной данной. Значит, наше предположение неверно и не лежит в .

4. Прямая имеет с точку . Если бы существовала ещё одна общая точка, вся лежала бы в по аксиоме о прямой и плоскости. Следовательно, — её единственная точка пересечения с . При этом , поскольку .

5. Прямая лежит в , а пересекает в точке вне . По признаку скрещивающихся прямых и скрещиваются.