№ Прямая в плоскости треугольника
Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?
Решение
Дано: треугольник в плоскости . Проверить два условия принадлежности прямой плоскости.
а) Прямая пересекает две стороны треугольника в двух точках, например и . Эти точки различны: пересечение двух сторон только в их общей вершине считалось бы одной точкой пересечения, а не двумя. Поскольку обе точки принадлежат , по аксиоме вся прямая лежит в . Утверждение верно.
б) Через вершину можно провести прямую с другой точкой вне . Если бы вся прямая лежала в , в ней лежала бы и , что противоречит выбору. Одной общей точки недостаточно для аксиомы .
