ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев, номер 916

№

Разложение разности квадратов на множители

(Задача-исследование.) Верно ли утверждение: если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно $12$ ?

Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
Разложите многочлен $p^2 - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно $4$ .
Обсудите, почему полученное произведение делится на $3$ .
Сделайте вывод.

Решение

Проверим на нескольких простых числах, больших трёх.
: — кратно .
: — кратно .
: — кратно .
: — кратно .
На всех примерах утверждение подтверждается.
Разложим по формуле разности квадратов: .
Так как — простое число, большее трёх, оно нечётное, значит оба числа и чётные. Это два последовательных чётных числа (они отличаются на ), а среди любых двух последовательных чётных чисел одно обязательно делится на . Значит, произведение делится на .
Среди любых трёх последовательных целых чисел , , одно обязательно делится на . Число не делится на , так как — простое число, большее трёх (иначе оно делилось бы на и не было бы простым, либо равнялось ). Значит, на делится или , а тогда на делится и всё произведение .
Произведение делится и на , и на — а это взаимно простые числа, значит оно делится на .

Ответ

Утверждение верно: всегда делится на , если — простое число, большее трёх (например, , , ).

Помогло?

Номер 916