ГДЗ Алгебра 11 класс Мерзляк, номер 42.6

№ .Целая часть показательной величины и геометрическое распределение

Пусть случайная величина $x$ имеет показательное распределение. Докажите, что случайная величина $y = [x]$ , где $[x]$ — целая часть $x$ , имеет геометрическое распределение.

Решение

Обозначим параметр показательного распределения через . По определению § величина неотрицательна, а её плотность при равна .

Целая часть неотрицательного числа равна тогда и только тогда, когда это число находится между включительно и исключительно. Поэтому для :

По формуле Ньютона — Лейбница и первообразной :

Выносим общий множитель:

Положим , . Так как , имеем , и . Полученная формула принимает вид

Последовательность вероятностей является геометрической прогрессией. Её сумма равна

поэтому она действительно задаёт распределение.

В определении § геометрическая величина считает число испытаний до первого успеха, включая успешное, и принимает значения , , , … . Здесь считает число полных единичных промежутков, прошедших без события, и принимает значения , , , … . Это геометрическое распределение числа неудач до первого успеха.

Чтобы получить буквально формулу §, введём . Для :

Следовательно, имеет геометрическое распределение в принятой в § нумерации, а — то же распределение со сдвигом значений на единицу влево.

💡 Почему так

В условии учебника, по-видимому, пропущен сдвиг на единицу: в § геометрическое распределение определено на значениях , , , …, а может равняться нулю с положительной вероятностью . В обозначениях § геометрически распределена величина .

Ответ

✓ dzmen.ru

, : геометрическое распределение числа неудач с параметром . По определению § геометрическое распределение имеет .

Помогло?

Номер 42.6 ГДЗ Алгебра 11 класс, Мерзляк 2024, страница 353