В каждом пункте используем признаки монотонности и экстремума из раздела §. Знак + производной означает возрастание, знак − — убывание; смена + на − даёт максимум, смена − на + — минимум. Сначала учитываем область определения. В схемах указаны знаки производной; точки разрыва не являются точками экстремума.
) Область определения — . По степенной формуле
Корни производной: , . При оба множителя отрицательны, их произведение положительно, а производная отрицательна. Между корнями произведение отрицательно, поэтому производная положительна. Правее она вновь отрицательна.
Значит, функция убывает на и , возрастает на . Точки экстремума: , .
) Область определения — . Производная при любом , так как квадрат неотрицателен. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой. Промежутков убывания и точек экстремума нет.
) При всех имеем . Корни — и . При оба переменных множителя отрицательны, поэтому производная положительна; при отрицательна; при положительна.
Возрастает на и , убывает на . При смена + на − даёт максимум, при смена − на + даёт минимум.
) ОДЗ: . По степенной формуле
Знаменатель положителен. Числитель положителен при и отрицателен при .
Поэтому возрастает на и , убывает на и . При − максимум, при минимум; нуль исключён из области определения.
) ОДЗ: . Дифференцируем:
Множитель положителен, нули производной — ±. Проверяя знак остальных множителей, получаем − на , + на , − на , + на .
Убывает на и , возрастает на и . В обеих точках ± производная меняет − на +, поэтому это точки минимума; максимумов нет.
) ОДЗ: , . По правилу частного:
Знаменатель положителен на ОДЗ. Производная положительна при и , отрицательна при . Разбиваем промежутки также в исключённых точках ±.
Возрастает на , , ; убывает на и . Максимум при , минимум при .
) ОДЗ: . По правилу частного:
Производная положительна при и равна нулю при . В нуле её знак не меняется. Поэтому функция возрастает на и , точек экстремума и промежутков убывания нет. Изолированное обращение производной в нуль не нарушает строгого возрастания.
) По правилу произведения и формуле §:
Экспонента положительна, поэтому знак определяется .
Убывает на , возрастает на . Смена − на + даёт минимум при ; максимума нет.
) По § . Поскольку экспонента возрастает, равенство даёт . При производная положительна, при отрицательна.
Возрастает на , убывает на , максимум при .
) ОДЗ: . По §:
На ОДЗ и положительны. Поэтому производная отрицательна при и положительна при .
Убывает на , возрастает на , минимум при .
) ОДЗ: . По правилу произведения:
Знаменатель положителен. Нуль числителя: , . Логарифм возрастает, поэтому производная отрицательна до и положительна после.
Убывает на , возрастает на , минимум при .
) ОДЗ: . Запишем . По правилу произведения:
Знаменатель положителен. Логарифм отрицателен при и положителен при , поэтому знак производной противоположен.
Возрастает на , убывает на , максимум при .
Во всех пунктах точки экстремума определены по смене знака производной внутри области определения.
