ГДЗ Алгебра 11 класс Мерзляк, номер 15.29

№ .

Середины отрезков и поворот на градусов

На прямой $l$ взяты последовательно точки $A$ , $B$ и $C$ , а на отрезках $A B$ и $A C$ в различных полуплоскостях относительно прямой $l$ построены равносторонние треугольники $A B D$ и $A C N$ . Докажите, что середины $K$ и $L$ соответственно отрезков $D C$ и $B N$ и точка $A$ являются вершинами равностороннего треугольника.

Решение

Возьмём за начало комплексной плоскости, а прямую — за действительную ось. Координаты обозначим , где . Пусть находится в верхней полуплоскости, — в нижней; отражение чертежа не меняет утверждения.

Положим . По свойству поворота в § и равносторонности построенных треугольников координаты их третьих вершин равны

Координаты середин отрезков находим по формуле середины:

Модуль равен , поэтому . Умножая второе равенство на , получаем

Следовательно, вектор является образом вектора при повороте на . Отсюда и . Эти отрезки ненулевые, поскольку действительная часть равна .

Треугольник равнобедренный, поэтому два угла при основании равны. Их сумма , значит, каждый равен . Треугольник равносторонний.

Ответ

✓ dzmen.ru

Треугольник равносторонний.

Помогло?

Номер 15.29 ГДЗ Алгебра 11 класс, Мерзляк 2024, страница 147