Даны треугольник ABC и произвольная точка O. Пусть точки P, Q и R — соответственно точки пересечения медиан треугольников AOB, BOC и COA. Докажите, что точка O и точки пересечения медиан треугольников ABC и PQR лежат на одной прямой.
Введём комплексную плоскость с началом в точке
Координата точки пересечения медиан треугольника равна среднему арифметическому координат его вершин. Это следует из формулы середины стороны и отношения
Применяя это свойство к трём треугольникам из условия, получаем
Для треугольника
Таким образом,
По свойству умножения вектора на действительное число векторы коллинеарны. При
Точки
