Гл. § Задача Первообразная степенной функции
Доказать, что для любого действительного p=−1 функция F(x)=p+1xp+1 является первообразной для функции f(x)=xp на промежутке x>0.
Решение
При действительная степень определена для любого действительного показателя. Условие обеспечивает ненулевой знаменатель .
По определению первообразной нужно доказать для всех . Применяем правило производной степени, справедливое на положительной полуоси: . Постоянный множитель выносим за знак производной. Тогда
.
Таким образом, равенство производной исходной функции доказано в каждой точке указанного промежутка, что и требуется по определению.
Ответ
— первообразная для при и .
