ГДЗ Алгебра 10 класс Мерзляк, номер 52.4

№ .Индукция: суммы произведений

Докажите, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство:

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$ ;
$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n (3 n + 1) = n (n + 1)^{2}$ ;
$1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \dots + (2 n - 1)^{3} = n^{2} (2 n^{2} - 1)$ .

Решение

Применяем метод математической индукции (§).

) При обе части равны : .

Предположим, что . Следующее слагаемое — . Тогда

Вынося общий множитель, получаем

Это формула для .

) База: .

Пусть . По правилу образования слагаемых добавляем :

Выносим и применяем квадрат суммы:

Переход доказан.

) База: .

Пусть . Добавляем куб следующего нечётного числа:

По формуле куба суммы . Поэтому

Раскрывая выражение для следующего индекса, имеем

Следовательно, оно равно .

База и переход выполнены в каждом пункте; все три равенства доказаны.

Ответ

✓ dzmen.ru

)–) Равенства верны для всех натуральных .

Помогло?

Номер 52.4 ГДЗ Алгебра 10 класс, Мерзляк 2024, страница 403