Найдём возможные остатки квадратов по модулю . Квадраты остатков , , , , , , равны , , , , , , . После деления на получаем , , , , , , .
По свойству возведения сравнений в степень каждый квадрат имеет один из остатков , , , . Перечислим суммы двух таких остатков без повторения порядка:
Среди них только кратен ; число имеет остаток . Поэтому условие делимости суммы квадратов на возможно только при нулевых остатках обоих квадратов.
В исходном перечне квадратов остаток получается лишь у самого остатка . Значит, , для некоторых целых .
Нельзя сразу утверждать, что из делимости суммы следует делимость обоих слагаемых. Например, , хотя ни одно слагаемое не кратно . В данном доказательстве это стало возможным благодаря полному перечню остатков квадратов: среди них нет двух ненулевых остатков, сумма которых кратна .
Подставим и вынесем общий множитель:
Число в скобках целое. По определению делимости сумма квадратов делится на .
