Номер 45.6 ГДЗ Алгебра 10 класс, Мерзляк 2024, страница 353

) Исследуем по схеме §.

Область определения: . Это многочлен, поэтому допустимо любое действительное значение аргумента.

По определению из § функция чётная, поскольку ; её график симметричен относительно оси ординат.

Нули находим из равенства числителя нулю: . Получаем , , .

По методу интервалов (§) используем разложение на множители и знаки числителя и знаменателя (для многочлена знаменатель равен ): при , при .

Применяем правило производной суммы и формулу (§): .

Знаменатель производной и её разложение на множители позволяют определить знак на каждом промежутке. Получаем при и при .

По признакам монотонности (§) функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на каждом из промежутков . Конечные границы, принадлежащие области определения, можно включить в промежутки монотонности.

В точке знак производной меняется с плюса на минус, поэтому по признаку экстремума (§) здесь максимум. Подставляем аргумент: .

В точке знак производной меняется с минуса на плюс, поэтому по признаку экстремума (§) здесь минимум. Подставляем аргумент: .

В точке знак производной меняется с плюса на минус, поэтому по признаку экстремума (§) здесь максимум. Подставляем аргумент: .

Для уточнения изгиба графика по § вычисляем вторую производную: .

По признаку выпуклости (§) график выпуклый вниз там, где , то есть на ; выпуклый вверх там, где , то есть на .

При переходе через , знак второй производной меняется, поэтому это точки перегиба (§).

Поведение ветвей определяется старшим членом: , .

Для построения вычисляем ординаты подстановкой выбранных абсцисс в исходную формулу.

	-	-	-

Вычисления для таблицы по правилу подстановки:

.

.

.

.

.

.

.

.

Отмечаем табличные точки, нули, экстремумы и перегибы; проводим ветви с установленной монотонностью и поведением на границах области определения.

Таким образом, график построен с учётом найденных свойств.

Корни соответствуют пересечениям с прямой . Перепишем , поэтому наибольшее значение равно и достигается при . Минимум между этими вершинами равен . При пересечений нет; при — два; при каждая из четырёх монотонных ветвей даёт одно пересечение. При уравнение даёт три различных корня: , , . При остаются два пересечения с внешними ветвями. Это даёт все возможные случаи.