) Исследуем по схеме §.
Область определения: . Это многочлен, поэтому допустимо любое действительное значение аргумента.
По определению из § функция ни чётная, ни нечётная: подстановка не даёт ни , ни .
Нули находим из равенства числителя нулю: . Получаем , .
По методу интервалов (§) используем разложение на множители и знаки числителя и знаменателя (для многочлена знаменатель равен ): при , при .
Применяем правило производной суммы и формулу (§): .
Знаменатель производной и её разложение на множители позволяют определить знак на каждом промежутке. Получаем при и при .
По признакам монотонности (§) функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на каждом из промежутков . Конечные границы, принадлежащие области определения, можно включить в промежутки монотонности.
В точке знак производной меняется с плюса на минус, поэтому по признаку экстремума (§) здесь максимум. Подставляем аргумент: .
В точке знак производной меняется с минуса на плюс, поэтому по признаку экстремума (§) здесь минимум. Подставляем аргумент: .
Для уточнения изгиба графика по § вычисляем вторую производную: .
По признаку выпуклости (§) график выпуклый вниз там, где , то есть на ; выпуклый вверх там, где , то есть на .
При переходе через знак второй производной меняется, поэтому это точки перегиба (§).
Поведение ветвей определяется старшим членом: , .
Для построения вычисляем ординаты подстановкой выбранных абсцисс в исходную формулу.
Вычисления для таблицы по правилу подстановки:
.
.
.
.
.
.
.
.
Отмечаем табличные точки, нули, экстремумы и перегибы; проводим ветви с установленной монотонностью и поведением на границах области определения.
Таким образом, график построен с учётом найденных свойств.
Корни — абсциссы пересечений графика с горизонтальной прямой . Минимум равен , максимум — . На трёх промежутках монотонности функция принимает соответственно значения от до , от до и от до . Поэтому при или пересечение одно; при и — два, поскольку касание в экстремуме даёт один корень; при — три. Например, при равенство даёт и , что подтверждает подсчёт.
