№
Вычислите сумму:
- S=sin2α+sin4α+…+sin2nα;
- S=cos2α+cos23α+…+cos2(2n−1)α.
Решение
-
Если
, , то все синусы равны нулю (§ –§ ), значит, .
Иначе. По формуле произведения синусов § : Сложение всех
равенств приводит к сокращению промежуточных членов: По разности косинусов §
правая часть равна . Делим на и находим . -
Если
, то каждый квадрат косинуса равен , поэтому . Если , то косинусы всех нечётных кратных равны нулю, значит, .
В остальных случаях. По понижению степени § : По произведению синуса и косинуса §
: Суммируем: промежуточные синусы сокращаются, остаётся
. Поэтому и . Все возможные аргументы учтены.
Ответ
✓ dzmen.ru
при ; иначе . при ; при ; иначе .
Здесь
Помогло?
