№ Возвратное уравнение и замена переменной
Доказать, что уравнение ax4+bx3+cx2+bx+a=0 заменой x+x1=t сводится к уравнению at2+bt+c−2a=0.
Решение
Для замены необходимо . Разделим исходное равенство на : .
Возведём выражение для в квадрат: . Поэтому .
Подставим оба выражения: . Раскроем скобки и приведём подобные члены: .
Если , то не является корнем исходного уравнения, поэтому деление на сохраняет все корни. После нахождения надо решить ; для действительного возможны лишь или , поскольку .
Если , то — корень исходного уравнения; его нужно записать отдельно до деления на .
Ответ
При получается , где ; при отдельно сохраняется корень .
