№ Делимость многочлена на квадратный трёхчлен
Доказать, что если x1, x2 — корни многочлена P(x), то P(x) делится на многочлен x2−(x1+x2)x+x1x2.
Решение
Разложим названный трёхчлен: .
Если , по теореме Безу . Подставим : . Первый множитель ненулевой, поэтому .
Снова применим теорему Безу к : . Тогда , то есть делится на требуемый квадратный трёхчлен.
При напечатанное утверждение неверно без требования двукратности корня. Например, для можно назвать его корнями, но не делится на . Таким образом, доказательство относится к различным корням; для совпадающих нужна дополнительная кратность.
Ответ
При делимость доказана; при требуется двукратный корень.
