ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 150

№

Доказательство равносильности уравнений

Доказать, что если каждая из функций $f(x)$ , $g(x)$ и $\varphi(x)$ определена на множестве $X$ и $\varphi(x) \ne 0$ для всех $x \in X$ , то уравнения $f(x) = g(x)$ и $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$ равносильны.

Решение

Чтобы доказать равносильность, надо показать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго и наоборот (определение равносильных уравнений, § ).

Пусть — корень первого уравнения, то есть верно числовое равенство . Умножим обе части этого верного равенства на число (функция определена в точке ). Получим верное равенство , то есть — корень второго уравнения.
Пусть теперь — корень второго уравнения: . Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель: . По условию . Произведение равно нулю, а второй множитель не равен нулю, поэтому первый равен нулю: , то есть . Значит, — корень первого уравнения.

Каждый корень каждого из уравнений является корнем другого, поэтому множества корней совпадают, и уравнения равносильны. Что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Условие существенно: при умножении на выражение, которое может обращаться в нуль, появляются посторонние корни (задача § ).

Ответ

Уравнения равносильны, так как корни первого уравнения являются корнями второго и, поскольку , наоборот.

Помогло?

Номер 150 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 59