Является ли система {3x₁+2x₂+x₃+2x₄=1… (высшая математика)

№ Система линейных уравнений, метод Гаусса

Является ли система

⎩ ⎨ ⎧ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} = 1 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + 5 x_{4} = 0 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} - x_{4} = - 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - 3 x_{4} = 1 2 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} + 3 x_{4} = 3

совместной? Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса и сделать проверку.

Решение

Берём третье уравнение как ведущее и исключаем из остальных:

Подставляем это выражение в остальные уравнения:

-е:
-е:
-е:
-е: . Оно совпадает с -м, поэтому его отбрасываем.

Исключаем с помощью -го из этих уравнений: .

-е: , то есть .
-е: , то есть . Это то же самое уравнение.

Остаётся независимых уравнения при неизвестных. Ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен , меньше числа неизвестных . Значит, система совместна и неопределённа, с одной свободной переменной.

Пусть . Тогда

Проверка при : .

-е: ✓
-е: ✓
-е: ✓
-е: ✓
-е: ✓

Ответ

✓ dzmen.ru

Система совместна (ранг меньше числа неизвестных ), решений бесконечно много:
, где — любое число.

№ Фундаментальная система решений однородной системы

Для однородной системы

⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} = 0 x_{1} + x_{2} + x_{3} - 3 x_{4} = 0 - x_{1} - 2 x_{2} + 12 x_{4} = 0 x_{1} + 2 x_{3} + 6 x_{4} = 0

найти фундаментальную систему решений, если она существует.

Решение

Из -го уравнения: .

Подставляем во -е: , откуда .

Проверяем остальные уравнения:

-е: ✓ (выполняется тождественно)
-е: ✓ (выполняется тождественно)

Ранг матрицы равен , неизвестных , поэтому свободных переменных две (). ФСР существует и состоит из двух решений.

: , получаем .
: , получаем .

Проверка во -м уравнении: ✓.

Ответ

✓ dzmen.ru

ФСР существует: , .
Общее решение: .

Помогло?

Является ли система {3x₁+2x₂+x₃+2x₄=1; 2x₁-x₂+2x₃+5x₄=0; x₁+x₂+4x₃-x₄=-2…