Всегда ли средние характеристики числового ряда могут дать точную информацию о нём?
Что такое отклонение?
В каком случае для сравнения числовых наборов можно использовать суммы квадратов отклонений?
В каком случае для сравнения числовых наборов предпочтительно вычислить их дисперсии?
- Нет. Разные наборы могут иметь одинаковое среднее, но разный разброс. Например,
, , и , , имеют среднее . - Отклонение — разность между значением в наборе и средним арифметическим этого набора:
. - Суммы квадратов отклонений можно сравнивать, когда в наборах одинаковое количество чисел.
- Дисперсию (среднее значение квадратов отклонений) лучше вычислять, когда в наборах разное количество чисел.
Сумма квадратов отклонений растёт с числом данных, а дисперсия от их количества не зависит.
- Нет, среднее не показывает разброс данных.
- Разность между значением и средним:
. - Когда в наборах поровну чисел.
- Когда в наборах разное количество чисел.
На станках изготовляют детали по стандартным размерам. Для определения точности работы станков случайным образом выбирают 10 деталей и производят их измерения (в данном случае – длина детали в мм). С использованием алгоритма вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения сравните точности двух станков по отклонениям от стандарта, приведённым в таблице.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I | +0,5 | +0,3 | -0,2 | +0,4 | -0,5 | -0,2 | +0,3 | +0,6 | -0,3 | +0,1 |
| II | -0,5 | -0,4 | 0 | -0,3 | -0,1 | +0,2 | +0,5 | +0,1 | +0,3 | +0,5 |
Станок I.
Среднее отклонение:
Сумма квадратов самих отклонений:
Дисперсия — среднее квадратов минус квадрат среднего:
Станок II.
Сумма квадратов:
Сравнение:
Чем меньше дисперсия и среднее квадратическое отклонение, тем меньше разброс размеров деталей и тем точнее станок.
Станок I:
Станок II:
Станок II работает точнее.
Спортсмены проводили подготовку к соревнованиям по стрельбе из лука. Оба спортсмена произвели по 7 серий выстрелов. Каждая серия состояла из 12 выстрелов. По итогам каждой серии подведены результаты попадания в цель.
Получили следующие данные:
Спортсмен I: 11, 11, 12, 11, 9, 11, 12.
Спортсмен II: 12, 10, 9, 12, 11, 12, 11.
Кто лучше готов к соревнованиям? Составить таблицу отклонений. Вычислять дисперсию. Вычислите стандартное отклонение (среднее квадратичное)
Средние:
Таблица отклонений от среднего
| Серия | Сумма квадратов | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I: результат | ||||||||
| I: отклонение | - |
|||||||
| I: квадрат | ||||||||
| II: результат | ||||||||
| II: отклонение | - |
- |
||||||
| II: квадрат |
Дисперсии:
Стандартные отклонения:
Средние результаты равны, но
При одинаковых средних лучше подготовлен тот, у кого меньше разброс результатов, то есть меньше дисперсия.
Среднее у обоих
Спортсмен I:
Спортсмен II:
Лучше готов спортсмен I.
