Соедините каждую формулу слева с… (вероятность и статистика)

№ Свойства операций над множествами

Соедините каждую формулу слева с названием свойства справа.
а) $A \cup B = B \cup A$ ;
б) $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ ;
в) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ ;
г) если $A \subseteq B$ , то $A \cup B = B$ ;
д) $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ;
е) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .
1 — распределительное объединения относительно пересечения;
2 — свойство включения;
3 — сочетательное объединения;
4 — переместительное объединения;
5 — распределительное пересечения относительно объединения;
6 — сочетательное пересечения.

Решение

а) Порядок множеств поменяли местами: переместительное свойство объединения — .
б) Скобки переставили, операция только пересечение: сочетательное пересечения — .
в) Пересечение «раскрывается» по объединению: распределительное пересечения относительно объединения — .
г) Если , то объединение равно большему множеству: свойство включения — .
д) Скобки переставили, операция только объединение: сочетательное объединения — .
е) Объединение «раскрывается» по пересечению: распределительное объединения относительно пересечения — .

Ответ

а — ; б — ; в — ; г — ; д — ; е —

№ Свойства операций над множествами

Заполните пропуски так, чтобы равенства стали верными:
а) $B \cap A =___$ ;
б) $A \cup (B \cup C) =___$ ;
в) $A \cap (B \cup C) =___$ ;
г) если $C \subseteq A$ , то $A \cap C =___$ ;
д) если $B \subseteq A$ , то $A \cup B =___$ ;
е) $(A \cap B) \cap C =___$ .

Решение

а) Переместительное свойство пересечения.
б) Сочетательное свойство объединения.
в) Распределительное свойство пересечения относительно объединения.
г) , общая часть множеств и — это .
д) , объединение — это .
е) Сочетательное свойство пересечения.

Ответ

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)

№ Круги Эйлера — Венна

На двух схемах Эйлера — Венна заштрихуйте одну и ту же область двумя способами: слева $A \cap (B \cup C)$ , справа $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ . Подпишите, какое свойство показывает совпадение областей.
Совпадение областей показывает свойство ______.

Решение

Слева: закрасьте (оба круга и целиком), затем оставьте только ту часть, которая лежит внутри круга . Получится часть круга , которая заходит в или в .
Справа: заштрихуйте (общая часть кругов и ) и (общая часть кругов и ) и объедините их. Получится та же часть круга , которая заходит в или в .
Области совпали.

Ответ

Распределительное свойство пересечения относительно объединения.

№ Вычисления с множествами

Для $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ , $A = {2, 4, 6, 8}$ , $B = {1, 2, 3, 4}$ , $C = {2, 4}$ выполните вычисления и поставьте в последнем столбце знак $=$ или $\subseteq$ :

Выражение	Левое множество	Правое множество	Знак (= или ⊆)
а) $A \cap B$ и $C$
б) $C \cup B$ и $B$
в) $A \cap C$ и $C$
г) $B \cap A$ и $A \cap B$

Решение

а) , , множества равны.
б) , , множества равны ().
в) , , множества равны.
г) , , множества равны.

Ответ

Выражение	Левое множество	Правое множество	Знак
а) и
б) и
в) и
г) и

№ Преобразование выражений с множествами

Преобразуйте выражения, используя свойства операций над множествами:
а) $X \cap (Y \cup Z)$ ;
б) $(M \cup N) \cap (M \cup P)$ ;
в) $(R \cap S) \cup (R \cap T)$ ;
г) если $K \subseteq L$ , то $K \cup L$ и $K \cap L$ .

Решение

а) Распределительное свойство пересечения относительно объединения:

б) Распределительное свойство объединения относительно пересечения (читаем справа налево):

в) Выносим общее множество

за скобку (читаем распределительное свойство справа налево):

г) Так как

, то

(свойство включения).

Ответ

а) ;
б) ;
в) ;
г) ,

№ Упрощение записи множества

В опросе восьмиклассников $A$ — множество учеников, выбравших проект по статистике, $B$ — множество учеников, выбравших проект по теории вероятностей, $C$ — множество учеников, выбравших проект по диаграммам. Известно, что $C \subseteq A$ . Упростите запись $A \cap (B \cup C)$ и объясните в одну строку, какие свойства Вы использовали.

Решение

По распределительному свойству:

Так как

, то

. Тогда

💡 Почему так

Использованы распределительное свойство пересечения относительно объединения и свойство включения: если , то .

Ответ

Помогло?

Соедините каждую формулу слева с названием свойства справа. а) A ∪ B…