Решите систему уравнений {(2x+3)²=5y; (3x+2)²=5y} (алгебра)

№

Система уравнений

⚠️

Задание не решено: число, которому равно меньшее основание BC, на фото не читается (вместо цифры неразборчивый значок). Пришлите это задание крупнее, чтобы было видно число.

Решите систему уравнений

{(2 x + 3)^{2} = 5 y (3 x + 2)^{2} = 5 y

Решение

Правые части равны, значит, равны и левые:

Отсюда

или

Если : , .

💡 Почему так

Если две величины равны одной и той же, они равны между собой. Разность квадратов раскладывается на множители.

Ответ

№

Движение навстречу

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

Поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, поэтому скорость сближения равна:

Переведём в м/с:

За секунд поезд проезжает мимо пешехода, то есть проходит путь, равный своей длине:

Ответ

№

График кусочной функции

Постройте график функции

f (x) = {- x^{2} + 2 x + 3, если x \geq 0, - x^{2} - 2 x + 3, если x < 0.

При каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком функции 2 общие точки?

Решение

При графиком служит парабола с ветвями вниз. Её вершина: , , то есть . Нули: , откуда (так как ).

При график симметричен первой части относительно оси . Вершина , нуль . Иначе можно записать .

	-	-	-	-
	-								-

Во второй строке таблицы значения при и равны , а при и равны . График состоит из двух парабол и имеет «W»-подобную форму: максимумы в точках , а в точке график имеет излом.

Число общих точек прямой с графиком:

: общих точек нет;
: точки ();
: точки;
: точки ( и );
: точки.

Ответ

или (то есть )

№

Перпендикулярность общей хорды и линии центров

Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D$ , причём точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $C D$ . Докажите, что $C D$ и $E F$ перпендикулярны.

Решение

и лежат на окружности с центром , поэтому как радиусы. Значит, равноудалена от концов отрезка и лежит на серединном перпендикуляре к .
и лежат на окружности с центром , поэтому как радиусы. Значит, тоже лежит на серединном перпендикуляре к .
Точки и различны и обе лежат на серединном перпендикуляре к , поэтому прямая и есть этот серединный перпендикуляр.
Следовательно, .

Другой способ: треугольники и равны по трём сторонам (, , общая). Поэтому — биссектриса угла в равнобедренном треугольнике , а значит, и высота.

Ответ

Доказано: — серединный перпендикуляр к , поэтому .

№

Свойство биссектрис треугольника

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 47 : 14, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 28.

Решение

Пусть в треугольнике биссектриса проведена к стороне , а — точка пересечения биссектрис, .

— биссектриса треугольника , поэтому

Аналогично,

— биссектриса треугольника

, поэтому

Равные отношения можно сложить почленно (по свойству пропорции):

Тогда

Периметр:

Ответ

Помогло?