Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках,…

Считаем по строкам сверху вниз. В каждой строке клетка либо входит в горизонтальную плитку, либо в вертикальную, которая идёт вниз или пришла сверху.

Строки и . В третьей строке свободны только клетки и , крайние заняты колоннами. Поэтому в эту строку сверху могут прийти вертикальные плитки только в столбцах и . Рассмотрим варианты.

• Из строки не приходит ни одной плитки. Тогда клетки и закрывает одна горизонтальная плитка. В четвёртой строке остаётся свободные клетки, их закрывают две горизонтальные плитки. Это способ.
• Приходят обе плитки, в столбцах и . Строка закрыта, в четвёртой строке тоже две горизонтальные плитки. Это способ.
• Приходит одна плитка, например в столбце . Клетка в строке должна уйти вниз. Тогда в строке остаются клетки , и , их нельзя покрыть. Такой вариант невозможен.
• Вертикальных плиток из строки вниз нет, иначе в строке не покрыть оставшиеся клетки. Для столбцов , это проверено выше.

Итак, из строки вниз либо нет плиток, либо есть плитки в столбцах и .

Строки и . Посчитаем, сколькими способами покрыть строки и .

Случай А: из строки вниз нет плиток. Строки – образуют прямоугольник без колонн. Его можно покрыть пятью способами:

• вертикальные плитки;
• горизонтальные в верхней строке и в нижней;
• вертикальные слева и горизонтальные справа;
• горизонтальные слева и вертикальные справа;
• вертикальные в столбцах и и две горизонтальные посередине.

Получаем способов.

Случай Б: из строки вниз идут плитки в столбцах и . Эти плитки занимают клетки и во второй строке. Остаётся покрыть клетки верхней строки и крайние клетки второй строки. Клетки (,) и (,) можно закрыть только вертикальными плитками вместе с (,) и (,). Тогда в первой строке остаются клетки и , их закрывает горизонтальная плитка. Получаем способ.

Всего: .