Маша измеряла, сколько минут она тратит на дорогу до школы в течение 5 дней: 10, 12, 8, 10, 15. Найдите дисперсию этого набора данных.
Среднее арифметическое:
Отклонения от среднего:
Квадраты отклонений:
Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего.
Заполните таблицу с оценками учеников за контрольную работу.
| Оценка | Число учеников | Отклонение |
|---|---|---|
| 3 | 2 | |
| 4 | 3 | |
| 5 | 1 |
Среднее арифметическое: ... Дисперсия: ...
Таблица напечатана мелко, числа учеников прочитаны как
Всего учеников:
Отклонения от среднего:
Дисперсия:
Отклонения: для оценки
Среднее арифметическое:
Дисперсия:
Набор данных показывает рост (в см) 5 учеников: 160, 162, 161, 159, 163. Представьте, что к ним добавился ученик ростом 190 см. Как, по вашему мнению, это повлияет на дисперсию набора данных?
Сначала считаем дисперсию для
Отклонения:
Теперь добавим
Сумма квадратов отклонений от
Дисперсия выросла с
Значение, сильно отличающееся от остальных, даёт большое отклонение. Его квадрат очень велик, поэтому дисперсия резко растёт.
Дисперсия сильно увеличится: с
Заполните пропуски в следующем утверждении об определении дисперсии.
«Дисперсия – это среднее арифметическое ________ отклонений каждого значения от ________. Она всегда является ________ числом.»
Дисперсию получают так: находят среднее арифметическое набора. Затем считают отклонение каждого значения от него и возводят в квадрат. Квадраты не могут быть отрицательными, поэтому и их среднее не может быть отрицательным.
«Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего арифметического набора. Она всегда является неотрицательным числом.»
Придумайте набор из 4 целых чисел, дисперсия которого равна 0.
Дисперсия равна нулю, когда все отклонения равны нулю, то есть все числа одинаковы. Возьмём набор
Вы работаете на заводе, производящем детали, которые должны иметь очень точный размер. У вас есть два станка (А и Б), и вы измерили размеры нескольких деталей, произведённых каждым станком.
• Станок А: Средний размер 10 мм. Дисперсия 0,01 мм².
• Станок Б: Средний размер 10 мм. Дисперсия 0,5 мм².
Какой станок, скорее всего, производит детали более однородно по размеру?
Средние размеры одинаковы, поэтому сравниваем дисперсии:
У станка А разброс размеров вокруг
Станок А.
Связь дисперсии со средним абсолютным отклонением.
| Сходство | Отличие |
|---|---|
Среднее абсолютное отклонение:
Дисперсия:
Сравниваем обе величины по способу вычисления и по смыслу.
Сходство:
- Обе величины показывают разброс данных вокруг среднего.
- Обе считаются по отклонениям от среднего арифметического.
- Обе неотрицательны и равны
, только если все числа одинаковы. - Чем больше значение, тем больше разброс.
Отличие:
- У дисперсии отклонения возводят в квадрат, у среднего абсолютного отклонения берут модуль.
- Дисперсия измеряется в квадратах единиц данных (мм², см²), а среднее абсолютное отклонение — в самих единицах (мм, см).
- Дисперсия сильнее реагирует на выбросы, потому что большие отклонения возводятся в квадрат.
