Маша измеряла, сколько минут она тратит на дорогу до школы в течение 5 дней: 10, 12, 8, 10, 15. Найдите дисперсию этого набора данных.
Среднее арифметическое:
Отклонения от среднего:
Квадраты отклонений:
Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего.
Заполните таблицу с оценками учеников за контрольную работу.
| Оценка | Число учеников | Отклонение |
|---|---|---|
| 3 | 2 | |
| 4 | 3 | |
| 5 | 1 |
Среднее арифметическое: ... Дисперсия: ...
Всего учеников:
Среднее арифметическое:
Отклонения от среднего:
- для оценки
: ; - для оценки
: ; - для оценки
: .
Дисперсия:
Числа учеников в таблице на фото плохо видны, прочитаны как
Таблица:
| Оценка | Число учеников | Отклонение |
|---|---|---|
Среднее арифметическое:
Дисперсия:
Набор данных показывает рост (в см) 5 учеников: 160, 162, 161, 159, 163. Представьте, что к ним добавился ученик ростом 190 см. Как, по вашему мнению, это повлияет на дисперсию набора данных?
Сначала для
Квадраты отклонений:
После добавления ученика ростом
Значение
Сумма квадратов отклонений равна
Дисперсия выросла примерно с
Дисперсия возводит отклонения в квадрат, поэтому одно значение, далёкое от остальных, сильно увеличивает её.
Дисперсия резко увеличится: примерно с
Заполните пропуски в следующем утверждении об определении дисперсии.
«Дисперсия – это среднее арифметическое ______ отклонений каждого значения от ______. Она всегда является ______ числом.»
Дисперсию находят так: отклонения каждого значения от среднего возводят в квадрат и берут среднее арифметическое этих квадратов. Квадраты не бывают отрицательными, поэтому и дисперсия не бывает отрицательной.
«Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего арифметического набора. Она всегда является неотрицательным числом.»
Придумайте набор из 4 целых чисел, дисперсия которого равна 0.
Дисперсия равна
Среднее равно
Например,
Вы работаете на заводе, производящем детали, которые должны иметь очень точный размер. У вас есть два станка (А и Б), и вы измерили размеры нескольких деталей, произведённых каждым станком.
• Станок А: Средний размер 10 мм. Дисперсия 0,01 мм².
• Станок Б: Средний размер 10 мм. Дисперсия 0,5 мм².
Какой станок, скорее всего, производит детали более однородно по размеру?
Средние размеры одинаковы, поэтому сравниваем дисперсии:
Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс размеров вокруг среднего. У станка А разброс меньше. Типичное отклонение у А
Станок А.
Связь дисперсии со средним абсолютным отклонением. Сходство. Отличие.
Сравним две характеристики разброса: дисперсию и среднее абсолютное отклонение (среднее арифметическое модулей отклонений от среднего).
Сходство:
- обе величины характеризуют разброс данных вокруг среднего;
- обе вычисляются через отклонения от среднего арифметического;
- обе неотрицательны и равны
, только если все числа набора одинаковы.
Отличие:
- в дисперсии отклонения возводят в квадрат, а в среднем абсолютном отклонении берут модуль;
- дисперсия измеряется в квадратных единицах (мм²), а среднее абсолютное отклонение — в тех же единицах, что и данные (мм);
- дисперсия сильнее реагирует на выбросы, так как большие отклонения возводятся в квадрат.
