Изобразите на диаграмме Эйлера множества X и Y, для… (алгебра)

№

Диаграммы Эйлера для двух множеств

⚠️

Задание обрезано: условие видно не до конца, вопрос не прочитать, поэтому оно не решено. Чтобы его решить, сфотографируйте его целиком, крупнее, вместе со следующей строкой.

Изобразите на диаграмме Эйлера множества $X$ и $Y$ , для которых выполняется соотношение: а) $X \cap Y = X$ ; б) $X \cup Y = X$ ; в) $X \cup Y = \emptyset$ .

Решение

а) Пересечение состоит из общих элементов. Оно равно , когда все элементы принадлежат , то есть . На диаграмме круг лежит целиком внутри круга .

б) Объединение включает все элементы обоих множеств. Оно равно , когда в нет элементов вне , то есть . На диаграмме круг лежит внутри круга .

в) Объединение пусто, только если в нём нет ни одного элемента. Значит, в и в элементов нет: и . Кругов на диаграмме нет, есть только поле универсального множества.

💡 Почему так

означает . означает . Объединение пусто, только если пусты оба множества.

Ответ

а) : круг внутри круга .
б) : круг внутри круга .
в) и : оба множества пусты, кругов нет.

№

Операции над тремя множествами на диаграмме Эйлера

Перерисуйте в тетрадь диаграмму Эйлера (рис. 54) и укажите на ней множество: а) $A \cup (B \cap C)$ ; б) $A \cap (B \cup C)$ .

Решение

Три круга , , попарно пересекаются и делят плоскость на областей:
— только ; — только ; — только ; — и без ; — и без ; — и без ; — все три круга.

а) — области и . Круг — области , , , . Их объединение: области , , , , . Нужно заштриховать весь круг и ещё область , то есть часть пересечения и , лежащую вне .

б) — области , , , , , . Круг — области , , , . Общие области: , , . Нужно заштриховать ту часть круга , которая лежит внутри или внутри . Область , где есть только , остаётся белой.

💡 Почему так

Объединение — все области хотя бы одного из множеств. Пересечение — только общие области. Сначала выполняют действие в скобках.

Ответ

а) — области , , , , : весь круг и общая часть и .
б) — области , , : круг без части, лежащей вне и .

№

Проверка равенств множеств

Пользуясь диаграммой Эйлера, проверьте, верно ли равенство: а) $A \cup (B \cap A) = B$ ; б) $A \cap (B \cup A) = A$ .

Решение

а) Пересечение целиком лежит в . Поэтому добавление его к ничего не меняет:

Значит, равенство

означало бы

. Это верно не всегда. Например, при

левая часть равна

, а правая

. Равенство неверно.

б) Множество содержит весь круг . Поэтому

Равенство верно для любых

💡 Почему так

Если , то и . В пункте а) , в пункте б) .

Ответ

а) неверно (левая часть равна , равенство верно только при ).
б) верно.

Помогло?

Изобразите на диаграмме Эйлера множества X и Y, для которых выполняется…